
В 1985 году окончил Ленинградский инженерно-строительный институт по специальности "инженер-строитель". С 1981 года по 1989 год работал мастером, прорабом, начальником участка, заместителем начальника по производству, главным инженером СУ-40 ЛПСМО Главзапстроя. В 1989 году назначен начальником отдела капитального строительства центра "Горизонт" Ленинградского ОК ВЛКСМ.
С 1989 года по 1990 год Кельбах занимал должность начальника производства стройиндустрии Центра МЖК "Союз". В 1990 году работал директором ТОО ПКФ "ИПС". В 1994 году окончил Российско-немецкую высшую школу управления Академии народного хозяйства при правительстве Российской Федерации. С 1996 года по 2007 год Сергей Кельбах являлся генеральным директором ООО "Агентство Нойдорф-Стрельна".
В 2007 году назначен советником председателя комитета, заместителем председателя комитета по благоустройству и дорожному хозяйству правительства Санкт-Петербурга. В 2008-2009 годах занимал должность генерального директора федерального государственного учреждения "Дороги России". 25 декабря 2009 года назначен на должность первого заместителя председателя правления по инвестиционно-финансовым вопросам Госкомпании "Российские автомобильные дороги" ("Автодор"). 27 декабря 2011 года назначен на должность председателя правления Государственной компании «Российские автомобильные дороги» (Автодор). В феврале 2019 года ушел в отставку.
В июле 2019 года генпрокурор РФ Юрий Чайка заявил о возбуждении уголовного дела в отношении Сергея Кельбаха. Он подозревался в превышении полномочий и не целевой трате 75 миллиардов рублей, которые были предназначены для строительства ЦКАД в Московской области.