
В 1991 году окончил географический факультет МГУ им. Ломоносова по специальности «экономическая география». В 1993 году получил второе высшее образование в Университете Орегона (США), специализация «география». С 1993 года работает в сфере управления финансами. В 1990-х был гендиректором и совладельцем инвестиционной компании «Нерль», известной агрессивными и рейдерскими сделками на рынке земельных активов.
В 2001 году создал девелоперскую компанию KR Properties. В 2003 году основал Azimut Hotels Company. В 2012 году купил московский отель «Метрополь». В 2013 году договорился о строительстве отеля международной гостиничной сети Hyatt в Подмосковье (открытие запланировано на 2017 год). В мае 2013 года приобрел у основного акционера Магнитогорского металлургического комбината Виктора Рашникова Renaissance Moscow Olympic. В марте 2014 года Александр Клячин выкупил московскую гостиницу «Белград».
В январе 2016 года совместно с Александром Светаковым принял участие в тендере на открытие первого казино в Республике Кипр. Помимо недвижимости Александр Клячин занимается инвестициями в технологические компании (в частности, владеет долями в компании Comiten). В 2016 году он купил 25% акций в американском стартапе Habidatum International. Арендный доход принадлежащих Клячину компаний KR Properties и Azimut в 2016 году составил 265 миллионов долларов.
С 2014 года Александр Клячин является участником рейтинга Forbes "200 богатейших бизнесменов России". В 2017 году он занял в этом рейтинге 71-е место с капиталом в 1,3 миллиарда долларов. В 2023 году занял в этом рейтинге 93-е место с капиталом в 1,2 миллиарда долларов.