
В 1973 году поступил на кафедру экономики зарубежных стран экономического факультета Московского государственного университета. В 1979 году с отличием окончил экономический факультет МГУ имени Ломоносова по специальности «экономист-международник» и получил назначение на заграничную работу в генеральное консульство СССР в Австралии. До 1992 года работал дипломатом в МИД СССР и РФ (в 1985-1990 годах — в посольстве СССР в Великобритании).
В 1995 году стал первым заместителем председателя Национального резервного банка Александра Лебедева, где занимался работой с внешними долгами и подбором кадров. 18 октября 1996 года указом президента Бориса Ельцина назначен председателем Внешэкономбанка, который после распада СССР стал агентом государства по обслуживанию советских долгов и активов. В июне 2002 года Костин был назначен на должность президента и председателя правления Внешторгбанка.
5 апреля 2017 года указом премьер-министра Дмитрия Медведева полномочия Костина в качестве главы ВТБ были продлены еще на 5 лет.
Увлекается горными лыжами, живописью и театром, материально поддерживает «Мастерскую Петра Фоменко». Старший сын Андрей работал заместителем председателя правления Deutsche Bank в России. Трагически погиб 2 июля 2011 года во время поездки на квадроцикле, находясь на отдыхе в Ярославской области.
Любовницей Андрея Костина, по данным российских СМИ, является журналистка Наиля Аскер-заде.