
В 1980-1982 годах проходил срочную службу в Вооруженных Силах СССР. В 1983 году поступил и в 1988 году окончил Московский институт стали и сплавов, где познакомился с будущими деловыми партнерами по Альфа-Групп — Михаилом Фридманом и Германом Ханом.
В 1988 году вместе с Михаилом Фридманом организовал кооператив «Курьер». В 90-е годы Кузьмичев, Фридман и Хан вместе с Михаилом Алфимовым основали компанию «Альфа-Фото», занимавшуюся импортом фотореактивов. Позднее Кузьмичев убедил партнеров заняться также экспортным бизнесом. В 1998 году Кузьмичев, Фридман и гражданин Швейцарии Анатолий Потик учредили СП «Альфа-Эко». Кузьмичев отвечал за внешние связи, поставлял на экспорт закавказские ковры ручной работы, и ввозил в Россию чай, шоколад и сигареты Marlboro.
«Альфа-Эко» стала основой консорциума «Альфа-Групп» (в 2005 году «Альфа-Эко» была переименована в А1). В нее входят крупнейший российский коммерческий банк «Альфа-Банк» (с сестринскими банками в Белоруссии, Казахстане, на Украине и в Нидерландах), международная телекоммуникационная компания «Вымпелком», а также доля в турецком сотовом операторе Turkcell. Алексей Кузьмичев контролирует международные трейдинговые операции Альфа-Групп.
С 2011 года является участником рейтинга журнала Forbes "200 богатейших бизнесменов России". В 2017 году занял в нем 16-е место с капиталом в 7,2 миллиарда долларов.
Увлекается современным искусством. Дружит с американским фотографом Пагленом Тревором, который снимает секретные объекты при помощи телескопа. Кузьмичеву принадлежит одна из самых известных работ Тревора — ночная фотография здания NSA (Агентства национальной безопасности США). Вместе с женой Светланой Кузьмичевой-Успенской, директором благотворительного проекта Project Perpetual, входит в попечительский совет Метрополитен-музея. У супругов есть сын.