
В 1982 году окончил юридический факультет МГУ. В 1990 году создал юридическую фирму «АЛМ-Консалтинг», в которой в 1990-1993 годах был управляющим партнером.
В 1993-1998 годах — учредитель, председатель правления ЗАО «Коммерческий банк "Компания по проектному финансированию"». В 1993-1997 годах — один из учредителей, акционер и член совета директоров ОАО «Седьмой континент». В 1998-2001 годах — учредитель и акционер «АЛМ Девелопмент». В 1998 году — советник по экономическим вопросам в администрации президента РФ. В 1999 году — советник главы администрации президента РФ Александра Волошина.
В 1999-2002 годах — председатель совета директоров АКБ «Московский деловой мир» (МДМ-Банк). В 2002-2005 годах — председатель совета директоров Инвестиционной компании «Тройка-диалог». В 2005-2006 годах — член совета директоров ОСАО «Ингосстрах». В 2005 году — председатель Попечительского совета экспериментального театрального центра новой драмы «Практика». В 2006 году создал компанию SUP, которая в 2007 году становится владельцем сервиса LiveJournal. 2007 год — открытие Мамутом ресторана-клуба The Most. 2008 год — покупка инвестиционной компанией A&NN, возглавляемой Мамутом, у Евгения Чичваркина и Тимура Артемьева 100 процентов акций компании «Евросеть». В октябре 2008 года 49,9 % акций «Евросети» были проданы «Вымпелкому».
2008 год — Мамут становится владельцем кинотеатра «Пионер» (Москва, Кутузовский проспект, 21). В 2009 Александр Мамут стал владельцем 61 % акций компании Spar Moscow Holding, в 2011 году — акционером Номос-банка. Также являлся миноритарным (6,7 %) акционером Банка "Открытие" через компанию «Открытие Холдинг». В декабре 2012 стал единоличным владельцем (100% акций) SUP Media. В апреле 2014 года управляющий акционер группы компаний Rambler&Co (ранее объединенная компания «Афиша-Рамблер-SUP») Александр Мамут лично возглавил группу в статусе генерального директора. Также является акционером компании Polymetal с пакетом в 9,2% акций. В 2017 году бизнесмен приобрел две крупнейших киносети в России — "Синема Парк" у Саида Керимова и "Формула Кино" у Инвесткомпании А1 (входит в состав Альфа-Групп).
С 2011 года является участником рейтинга журнала Forbes "200 богатейших бизнесменов России". В 2017 году занял в этом рейтинге 40-е место с капиталом в 2,5 миллиарда долларов.